Background

Ukuran Penyimpangan


UKURAN PENYEBARAN

Ukuran pemusatan yaitu mean, median dan modus, merupakan informasi yang memberikan penjelasan kecenderungan data sebagai wakil dari beberapa data yang ada. Adapun ukuran penyebaran(simpangan) data memberikan gambaran seberapa besar data menyebar dari titik-titik pemusatan.
Ukuran  penyebaran atau nilai ukuran variasi data digunakan :
ü  untuk melihat  penyimpangan data dari nilai pemusatannya
ü  untuk mengukur keragaman data

Ukuran penyebaran meliputi jangkauan (range), simpangan rata-rata (deviasi ratarata), variansi dan simpangan baku (deviasi standar). Sedangkan ukuran simpangan relatif adalah standar Error (SE ) atau Koefisien Variasi (kv)

Jangkauan (Range)

Ukuran penyebaran yang paling sederhana (kasar) adalah jangkauan (range) atau rentangan nilai, yaitu selisih antara data terbesar dan data terkecil. Untuk range data dirumuskan dengan:    

Contoh soal
Tentukan range dari data-data di bawah ini.
6, 7, 3, 4, 8, 3, 7, 6, 10, 15, 20

Penyelesaian
Dari data di atas diperoleh xmaks = 20 dan xmin = 3
Jadi, R = xmaks – xmin = 20 – 3 = 17                 

 Untuk data sudah dikelompokkan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, maka  nilai tertinggi diambil dari nilai tengah kelas tertinggi dan nilai terendah diambil dari nilai kelas yang terendah.

Contoh soal
Tentukan range dari tabel berikut ini.
Penyelesaian

Simpangan Rata-Rata (Deviasi Rata-Rata)

Simpangan rata-rata suatu data adalah nilai rata-rata dari selisih setiap data dengan nilai rata-rata hitung. Simpangan rata-rata data dirumuskan sebagai berikut

Keterangan:
SR = simpangan rata-rata
n = ukuran data
xi = data ke-i dari data x1, x2, x3, …, xn
x = rataan hitung


Contoh soal
Diketahui data: 7, 6, 8, 7, 6, 10, 5. Tentukan simpangan rata-ratanya.

Penyelesaian
     

       
Apabila data sudah dikelompokkan maka simpangan rata-rata data dirumuskan



Contoh soal:
Tentukan simpangan rata-rata pada tabel berikut ini.


Penyelesaian


Simpangan Baku (Deviasi Standar)

Seorang ahli matematika Jerman, Karl Ganss mempelajari penyebaran dari berbagai macam data. Ia menemukan istilah deviasi standar untuk menjelaskan penyebaran yang terjadi. Saat ini, ilmuwan menggunakan deviasi standar atau simpangan baku untuk mengestimasi akurasi pengukuran. Deviasi standar adalah akar dari jumlah kuadrat deviasi dibagi banyaknya data.
Simpangan baku/deviasi standar data dirumuskan sebagai berikut.(untuk data tersebar)
S2= variansi
Contoh soal
Dari 40 siswa kelas XI IPA diperoleh nilai yang mewakili adalah 7, 9, 6, 3, dan 5. Tentukan simpangan baku dari data tersebut.

Penyelesaian


            Apabila datanya dikelompokkan maka nilai simpangan baku dapat dicari dengan

Contoh soal
Hasil tes Matematika 30 siswa kelas XI IPA seperti ditunjukkan pada tabel di dibawah.
Berdasarkan data tersebut, tentukan simpangan bakunya

Penyelesaian

Ragam atau Variansi

Jika simpangan baku atau deviasi standar dilambangkan dengan s, maka ragam atau variansi dilambangkan dengan s2.
Koefisien Variansi(KV)
Merupakan ukuran simpangan relatif, shg bisa digunakan untuk membandingkan penyebaran beberapa kelompok data. Dirumuskan:

KV = simpangan baku/rata-rata * 100%

Koefisien kemencengan kurva(Km)= Skewness                    
Kurva populasi à ingat poligon frekuensi (positif. Negatif atau simetris) yang sedikit menceng bisa dihitung dg rumus:

Km = 3(rata-rata-median)/simpangan baku


Created by : Syamsu Windarti, Dra. Hj., M.T., Apt.
Read More 0 komentar

Ukuran Letak

UKURAN LETAK

Selain ukuran memusat, ada juga yang disebut ukuran letak. Adapun ukuran letak
meliputi: kuartil (Q), desil (D), dan persentil (P).

Kuartil (Q)

Seperti yang sudah dibahas sebelumnya, bahwa median membagi data yang telah
diurutkan menjadi dua bagian yang sama banyak. Adapun kuartil adalah membagi
data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak.

Keterangan:
 xmin = data terkecil
xmaks = data terbesar
Q1 = kuartil ke-1
Q2 = kuartil ke-2
Q3 = kuartil ke-3

Untuk mencari kuartil data tunggal telah dibahas pada sub bab statistik lima
serangkai. Pada sub bab ini akan diberikan rumus yang lebih mudah jika data
yang disajikan lebih banyak.
Letak dari Qi dirumuskan sebagai berikut.
Keterangan:
Qi = kuartil ke-i
n = banyak data

Contoh soal

1. Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data : 3, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 9, 10, 8, 3, 7, 12.
Penyelesaian
Data yang telah diurutkan: 3, 3, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12.




Menentukan letak kuartil untuk data yang sudah dikelompokkan ditentukan dengan menentukan interval  Qi, kemudian nilai kuartil dirumuskan sebagai berikut.
Keterangan:
 Qi = kuartil ke-i (1, 2, atau 3)
bi = tepi bawah kelas kuartil ke-i
N = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartil
l = lebar kelas
f = frekuensi kelas kuartil

Contoh soal
Tentukan Q1 (kuartil bawah), Q2 (median), dan Q3 (kuartil atas) dari data tes
Matematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA berikut ini.
Penyelesaian

Desil

Desil membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama besar.
Sehingga letak dari Di (desil ke-i) diringkas
Keterangan:
Di = desil ke-i
i = 1, 2, 3, . . ., 9
n = banyaknya data

Contoh soal
Diketahui data: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5. Tentukan:
1. desil ke-2,
2. desil ke-4.
Penyelesaian

Apabila datanya sudah dikelompokkan dalam table distribusi frekuensi maka untuk mencari nilai desil digunakan aturan sbb:

Keterangan:
D = desil ke-i
n = banyak data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum  kelas desil
f = frekuensi kelas desil
b = tepi bawah kelas
l = lebar kelas

Contoh soal
Diketahui data pada tabel bergolong di bawah.
Dari data tersebut tentukan:
a. desil ke-1
b. desil ke-9


Penyelesaian

a. Letak D1 = 4 yaitu pada data ke-4 dan kelas D1 = 46 – 50 sehingga diperoleh:


b. Letak D9 = (9* 40)/10 = 36 yaitu data ke-36 dan kelas D9 = 61 – 65 sehingga diperoleh:


Persentil

Jika data dibagi menjadi 100 bagian yang sama, maka ukuran itu disebut persentil.
Letak persentil dirumuskan dengan:

Keterangan:
Pi = persentil ke-i
i = 1, 2, 3, . . ., 99
n = banyaknya data

Contoh soal
Diketahui: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5, tentukan persentil ke-30 dan persentil ke-75.
Penyelesaian
Data diurutkan: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11

Bila data dibagi menjadi 100 bagian yang sama maka ukuran itu disebut persentil.
Letak dari persentil dapat dirumuskan dengan: P1 = i (n+1)/100. Sedangkan nilai
persentil ke-i dari data bergolong dirumuskan sebagai berikut.
Keterangan:
Pi = persentil ke-i
b = tepi bawah
n = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum
kelas persentil
f = frekuensi kelas persentil
l = lebar kelas

Contoh
Diketahui data pada tabel bergolong di bawah.

Dari data tersebut tentukan:
a. persentil ke-25
b. persentil ke-60

Penyelesaian

  1.  Letak P25 = 25/100* 40 = 10 yaitu pada data ke-10 dan kelas P25 = 51 – 55 sehingga diperoleh:

  1. Letak P60 = 60/100* 40 = 24, yaitu pada data ke-24 dan kelas P60 = 56 – 60 sehingga diperoleh:




 Created by : Syamsu Windarti, Dra, Hj., M.T., Apt.
Read More 0 komentar

Ukuran Pemusatan


UKURAN PEMUSATAN

Pendahuluan
Ukuran pemusatan serta penafsirannya suatu rangkaian data adalah suatu nilai dalam
rangkaian data yang dapat mewakili rangkaian data tersebut. Suatu rangkaian data  biasanya  mempunyai kecenderungan untuk terkonsentrasi atau terpusat pada nilai pemusatan ini.
Ukuran statistik yang dapat menjadi pusat dari rangkaian data dan memberi gambaran singkat tentang data disebut ukuran pemusatan data. Ukuran pemusatan data dapat digunakan untuk menganalisis data lebih lanjut.

Ukuran pemusatan data dapat dilihat diantaranya melalui :
1.      Rata-rata hitung ( Mean)
2.      Nilai tengah (Median )
3.      Modus
4.      Rata-rata terbobot
5.      Rata-rata ukur

Rata-rata hitung ( Mean)
Rata-rata hitung adalah ukuran pemusatan yang sering digunakan. Kelemahan ukuran rata-rata hitung jika digunakan sebagai ukuran pemusatan adalah apabila ada data yang sangat ekstrim.
Rata-rata dari sekumpulan data yang banyaknya n adalah jumlah data dibagi dengan banyaknya data.
           



Keterangan:
n = banyaknya data
xi = data ke-i

Contoh soal
1.      Dari hasil tes 10 siswa kelas XI diperoleh data: 3, 7, 6, 5, 3, 6, 9, 8, 7, dan 6. Tentukan rataan dari data tersebut.
Penyelesaian
           
 


Jadi, rataannya adalah 6,0.

2. Berdasarkan data hasil ulangan harian Matematika di kelas XI IPA, enam siswa  mendapat nilai 8, tujuh siswa mendapat nilai 7, lima belas siswa mendapat nilai 6, tujuh siswa mendapat nilai 5, dan lima siswa mendapat nilai 4. Tentukan rata-rata nilai ulangan harian Matematika di kelas tersebut.
Penyelesaian
Tabel nilai ulangan harian Matematika kelas XI IPA.


   Jadi, rataan nilai ulangan harian Matematika di kelas XI IPA adalah 6,05.

2) Rata-rata dari data distribusi frekuensi
Apabila data disajikan dalam tabel distribusi frekuensi maka rataan dirumuskan
sebagai berikut.
           

Keterangan:
 fi = frekuensi untuk kelas interval ke i
xi = titik tengah interval ke-i

Contoh soal
Tentukan  rata-rata dari data berikut
Penyelesaian



Nilai tengah ( Median)
Nilai tengah adalah nilai yang berada ditengah data yang telah terurut
Median untuk data tunggal
Median adalah suatu nilai tengah yang telah diurutkan. Median dilambangkan Me. Untuk menentukan nilai Median data tunggal dapat dilakukan dengan cara:
a) mengurutkan data kemudian dicari nilai tengah,
b) jika banyaknya data besar, setelah data diurutkan, digunakan rumus:
Letak: data ke (n+1)/2


Contoh soal
1.   Dari data di bawah ini, tentukan mediannya
2, 5, 4, 5, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 8
Penyelesaian
Data diurutkan menjadi:
Jadi mediannya Me = 6

2.   Perhatikan data berikut

Penyelesaian
Banyaknya data n = 50


Jika datanya dalam bentuk tabel distribusi frekuensi maka nilai tengah  dapat ditentukan dengan:
  1. Tentukan dulu interval yang memuat median yaitu interval yang memuat data ke (n+1)/2 jika data ganjil, atau data ke-n/2 jika data genap
  2. Tentukan nilai median dengan
Keterangan:
b2 = tepi bawah kelas median
c = lebar kelas
N = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kurang dari sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median

Contoh
Tentukan median dari data tes Matematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA yang  pada tabel distribusi frekuensi di bawah


Banyaknya data ada 40 sehingga letak mediannya pada frekuensi 40/2 = 20.
b2 = 59,5
c = 10
f = 14
N = 40
F = 9
Maka






Modus
Modus ialah nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi.
Jika suatu data hanya mempunyai satu modus disebut unimodal dan bila memiliki dua
modus disebut bimodal, sedangkan jika memiliki modus lebih dari dua disebut multimodal. Modus dilambangkan dengan Mo.
Contoh soal
Tentukan modus dari data di bawah ini.
  1. 2, 1, 4, 1, 1, 5, 7, 8, 9, 5, 5, 10
  2.  

Penyelesaian
  1. 1, 1, 1, 2, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 10
Data yang sering muncul adalah 1 dan 5. Jadi modusnya adalah 1 dan 5.

  1. Berdasarkan data pada tabel, nilai yang memiliki frekuensi tertinggi adalah 6.
Jadi, modusnya adalah 6

Apabila datanya sudah dikelompokkan dalam table distribusi frekuensi maka Modus data dirumuskan sebagai berikut:


Keterangan:
b0 = tepi bawah kelas modus
p = lebar kelas (lebar kelas)
d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

Contoh soal
Tentukan modus dari tabel di bawah ini.

Penyelesaian
Frekuensi modusnya 18, kelas modusnya 65 – 69, dan tepi bawah frekuensi modus
(b) = 64,5
d1 = 18 – 6 = 12
d2 = 18 – 9 = 9
l = 69,5 – 64,5 = 5
.



Read More 0 komentar